已知不等式ex﹣1≥kx+lnx,對於任意的x∈(0,+∞)恆成立,則k的最大值
來源:國語幫 2.12W
問題詳情:
已知不等式ex﹣1≥kx+lnx,對於任意的x∈(0,+∞)恆成立,則k的最大值
【回答】
e﹣1
【解答】解:不等式ex﹣1≥kx+lnx,對於任意的x∈(0,+∞)恆成立.
等價於對於任意的x∈(0,+∞)恆成立.
令,(x>0),
,
令g(x)=ex(x﹣1)+lnx,(x>0),則,
∴g(x)在(0,+∞)單調遞增,g(1)=0,
∴x∈(0,1)時,g(x)<0,x∈(1,+∞)時,g(x)>0.
∴x∈(0,1)時,f′(x)<0,x∈(1,+∞)時,f′(x)>0.
∴x∈(0,1)時,f(x)單調遞減,x∈(1,+∞)時,f(x)單調遞增.
∴f(x)min=f(1)=e﹣1
∴k≤e﹣1.
知識點:不等式
題型:填空題