點A,B,C,D在同一個球的球面上,,,若四面體ABCD體積的最大值為,則這個球的表面積為( )A. ...
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問題詳情:
點A,B,C,D在同一個球的球面上,,,若四面體ABCD體積的最大值為,則這個球的表面積為( )
A. B. C. D.
【回答】
D
【解析】
根據題意,畫出示意圖,結合三角形面積及四面積體積的最值,判斷頂點D的位置;然後利用勾股定理及球中的線段關係即可求得球的半徑,進而求得球的面積。
【詳解】
根據題意,畫出示意圖如下圖所示
因為 ,所以三角形ABC為直角三角形,面積為 ,其所在圓面的小圓圓心在斜邊AC的中點處,設該小圓的圓心為Q
因為三角形ABC的面積是定值,所以當四面體ABCD體積取得最大值時,高取得最大值
即當DQ⊥平面ABC時體積最大
所以
所以
設球心為O,球的半徑為R,則
即
解方程得
所以球的表面積為
所以選D
【點睛】
本題考查了空間幾何體的外接球面積的求法,主要根據題意,正確畫出圖形並判斷點的位置,屬於難題。
知識點:空間幾何體
題型:選擇題