某農場有一塊農田,如圖所示,它的邊界由圓O的一段圓弧(P為此圓弧的中點)和線段MN構成.已知圓O的半徑為40米...
問題詳情:
某農場有一塊農田,如圖所示,它的邊界由圓O的一段圓弧(P為此圓弧的中點)和線段MN構成.已知圓O的半徑為40米,點P到MN的距離為50米.現規劃在此農田上修建兩個温室大棚,大棚Ⅰ內的地塊形狀為矩形ABCD,大棚Ⅱ內的地塊形狀為,要求均在線段上,均在圓弧上.設OC與MN所成的角為.
(1)用分別表示矩形和的面積,並確定的取值範圍;
(2)若大棚Ⅰ內種植*種蔬菜,大棚Ⅱ內種植乙種蔬菜,且*、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為.求當為何值時,能使*、乙兩種蔬菜的年總產值最大.
【回答】
解:(1)連結PO並延長交MN於H,則PH⊥MN,所以OH=10.
過O作OE⊥BC於E,則OE∥MN,所以∠COE=θ,
故OE=40cosθ,EC=40sinθ,
則矩形ABCD的面積為2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ),
△CDP的面積為×2×40cosθ(40–40sinθ)=1600(cosθ–sinθcosθ).
過N作GN⊥MN,分別交圓弧和OE的延長線於G和K,則GK=KN=10.
令∠GOK=θ0,則sinθ0=,θ0∈(0,).
當θ∈[θ0,)時,才能作出滿足條件的矩形ABCD,
所以sinθ的取值範圍是[,1).
答:矩形ABCD的面積為800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面積為
1600(cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值範圍是[,1).
(2)因為*、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為4∶3,
設*的單位面積的年產值為4k,乙的單位面積的年產值為3k(k>0),
則年總產值為4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ)
=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈[θ0,).
設f(θ)= sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ0,),
則.
令,得θ=,
當θ∈(θ0,)時,,所以f(θ)為增函數;
當θ∈(,)時,,所以f(θ)為減函數,
因此,當θ=時,f(θ)取到最大值.
答:當θ=時,能使*、乙兩種蔬菜的年總產值最大.
知識點:高考試題
題型:解答題