閲讀下列內容，並解決問題.一道習題引發的思考小明在學習《勾股定理》一章內容時，遇到了一個習題,並對有關內容進行...

問題詳情：

閲讀下列內容，並解決問題.

一道習題引發的思考

小明在學習《勾股定理》一章內容時，遇到了一個習題,並對有關內容進行了研究:習題再現：

古希臘的哲學家柏拉圖曾指出，如果m表示大於1的整數,a=2m,b=m2-1,c=m2+1那麼a,b,c為勾股數.你認為對嗎？如果對，你能利用這個結論得出一些勾股數嗎？

資料蒐集：

定義：勾股數是指可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數.一般地，若三角形三邊長a,b,c都是正整數,且滿足a2+b2=c2,那麼a,b,c稱為一組勾股數.

關於勾股數的研究：我國西周初數學家商高在公元前1000年發現了 “勾三，股 四，弦五”，這組數（3,4,5）是世界上最早發現的一組勾股數.畢達哥拄斯學派、柏拉 圖學派、我國數學家劉徽、古希臘數學家丟番圖都進行過勾股數的研究.習題中的表達式是柏拉圖給出的勾股數公式，這個表達式未給出全部勾股數.世界上第一次給出勾股數通解公式的是《九幸算術》，其勾股數公式為:,,, 其中m>n,m,n是互質的奇數.（注:a,b,c的相同倍數組成的一組數也是勾股數）

問題解答：

（1）根據柏拉圖的研究，當m=6時，請直接寫出一組勾股數；

（2）若m表示大於1的整數，試*（m2-1,2m,m2+1）是一組勾股數；

（3）請舉出一個反例（即寫出一組勾股數），説明柏拉圖給出的勾股數公式不能構造出所有的勾股數.

【回答】

解：（1）（12，35，37） .................................1 分

（2）*：(m2-1)2+(2m)2

=m4-2m2+1+4m2

=m4+2m2+1

=(m2+1)2     .......................................3 分

即(m2-1)2+(2m)2=(m2+1)2.

∴（m2－1，2m，m2+1）是一組勾股數 ..........................4 分

（3）*不唯一，例如（5，12，13），（7，24，25）等. .........6分

知識點：勾股定理

題型：解答題