某單位為促進職工業務技能提升，對該單位120名職工進行一次業務技能測試，測試項目共5項.現從中隨機抽取了10名...

問題詳情：

某單位為促進職工業務技能提升，對該單位120名職工進行一次業務技能測試，測試項目共5項.現從中隨機抽取了10名職工的測試結果，將它們編號後得到它們的統計結果如下表（表1）所示（“√”表示測試合格，“×”表示測試不合格）.

表1：

規定：每項測試合格得5分，不合格得0分.

（1）以抽取的這10名職工合格項的項數的頻率代替每名職工合格項的項數的概率.

①設抽取的這10名職工中，每名職工測試合格的項數為，根據上面的測試結果統計表，列出的分佈列，並估計這120名職工的平均得分；

②假設各名職工的各項測試結果相互*，某科室有5名職工，求這5名職工中至少有4人得分不少於20分的概率；

（2）已知在測試中，測試難度的計算公式為，其中為第項測試難度，為第項合格的人數，為參加測試的總人數.已知抽取的這10名職工每項測試合格人數及相應的實測難度如下表（表2）：

表2：

定義統計量，其中為第項的實測難度，為第項的預測難度（）.規定：若，則稱該次測試的難度預測合理，否則為不合理，測試前，預估了每個預測項目的難度，如下表（表3）所示：

表3：

判斷本次測試的難度預估是否合理.

【回答】

【詳解】（1）①根據上面的測試結果統計表，得的分佈列為：

所以的數學期望.

所以估計這12名職工的平均得分為.

②“得分不小於20分”即“”，

由①知.

設該科室5名職工中得分不小於20分的人數為，則.

所以，

即這5名職工中至少有4人得分不小於20分的概率為.

（2）由題意知

該次測試的難度預估是合理的.

【點睛】本題主要考查互斥事件的概率公式、*事件同時發生的概率公式以及離散型隨機變量的分佈列與數學期望，屬於中檔題. 求解數學期望問題，首先要正確理解題意，其次要準確無誤的找出隨機變量的所有可能值，計算出相應的概率，寫出隨機變量的分佈列，正確運用均值公式進行計算，也就是要過三關：（1）閲讀理解關；（2）概率計算關；（3）公式應用關.

知識點：統計

題型：解答題