已知函數.（1）討論f(x)的單調*，並*f(x)有且僅有兩個零點；（2）設x0是f(x)的一個零點，*曲...
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問題詳情：
已知函數
.
（1）討論f(x)的單調*，並*f(x)有且僅有兩個零點；
（2）設x0是f(x)的一個零點，*曲線y=ln x 在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線
的切線.
【回答】
（1）函數
在
和
上是單調增函數，*見解析；
（2）*見解析.
【分析】
（1）對函數
求導，結合定義域，判斷函數的單調*；
（2）先求出曲線
在
處的切線
，然後求出當曲線
切線的斜率與
斜率相等時，*曲線
切線
在縱軸上的截距與
在縱軸的截距相等即可.
【詳解】
（1）函數
的定義域為
，
，因為函數
的定義域為
，所以
，因此函數
在
和
上是單調增函數；
當
，時，
，而
，顯然當
，函數
有零點，而函數
在
上單調遞增，故當
時，函數
有唯一的零點；
當
時，
，
因為
，所以函數
在
必有一零點，而函數
在
上是單調遞增，故當
時，函數
有唯一的零點
綜上所述，函數
的定義域
內有2個零點；
（2）因為
是
的一個零點，所以
，所以曲線
在
處的切線
的斜率
，故曲線
在
處的切線
的方程為：
而
，所以
的方程為
，它在縱軸的截距為
.
設曲線
的切點為
，過切點為
切線
，
，所以在
處的切線
的斜率為
，因此切線
的方程為
，
當切線
的斜率
等於直線
的斜率
時，即
，
切線
在縱軸的截距為
，而
，所以
，直線
的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線
重合，故曲線
在
處的切線也是曲線
的切線.
【點睛】
本題考查了利用導數求已知函數的單調*、考查了曲線的切線方程，考查了數學運算能力.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
