△ABC是等邊三角形,點D是*線BC上的一個動點(點D不與點B,C重合),△ADE是以AD為一邊的等邊三角形,...
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問題詳情:
△ABC是等邊三角形,點D是*線BC上的一個動點(點D不與點B,C重合),△ADE是以AD為一邊的等邊三角形,過點E作BC的平行線,分別交*線AB,AC於點F,G,連接BE.
(1)如圖(a)所示,當點D在線段BC上時.
①求*:△AEB≌△ADC.
②探究四邊形BCGE是怎樣的特殊四邊形?並説明理由.
(2)如圖(b)所示,當點D在BC的延長線上時,直接寫出(1)中的兩個結論是否成立.
(3)在(2)的情況下,當點D運動到什麼位置時,四邊形BCGE是菱形?並説明理由.
【回答】
【解析】(1)①∵△ABC和△ADE都是等邊三角形,
∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC,
∴△AEB≌△ADC.
②四邊形BCGE是平行四邊形,
理由:由①得△AEB≌△ADC,∴∠ABE=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,∴∠ABE=∠BAC,
∴EB∥GC.又∵EG∥BC,
∴四邊形BCGE是平行四邊形.
(2)①②都成立.
(3)當CD=CB(∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)時,四邊形BCGE是菱形.
理由:由①得△AEB≌△ADC,∴BE=CD.
又∵CD=CB,∴BE=CB.
由②得四邊形BCGE是平行四邊形,
∴四邊形BCGE是菱形.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題