如圖所示，某住宅小區一側有一塊三角形空地，其中．物業管理擬在中間開挖一個三角形人工湖，其中都在邊上（不與重合，...

問題詳情：

如圖所示，某住宅小區一側有一塊三角形空地，其中

．物業管理擬在中間開挖一個三角形人工湖，其中都在邊上（不與重合，在之間），且．

（Ⅰ）若在距離點處，求點之間的距離；

（Ⅱ）為節省投入資金，三角形人工湖的面積要儘可能小．試確定的位置，使的面積最小，並求出最小面積．

【回答】

解：（Ⅰ）在中，因為，所以，

在中，由余弦定理得：，

所以，

所以，

在中，

，

在中，由，得；… ………6分

（Ⅱ）解法1：設 ，

在中，由，得，

在中，由，得，

所以

＝＝

＝ 

＝．

當，即時，的最小值為．

所以應設計，可使△OMN的面積最小，最小面積是km2…12分

解法2：設AM＝x，0＜x＜3．在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9，

所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，

在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝，

由＝，得ON＝·＝，

所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···＝，0＜x＜3，

令6－x＝t，則x＝6－t，3＜t＜6，則：

S△OMN＝＝(t－9＋)≥·(2－9)＝．若且唯若t＝，即t＝3，x＝6－3時等號成立，S△OMN的最小值為，

所以M的位置為距離A點6－3 km處，可使△OMN的面積最小，最小面積是 km2．

知識點：解三角形

題型：解答題