*質探究如圖（1），在等腰三角形中，，則底邊與腰的長度之比為

問題詳情：

*質探究

如圖（1），在等腰三角形中，，則底邊與腰的長度之比為_________．

理解運用

（1）若頂角為的等腰三角形的周長為，則它的面積為_________；

（2）如圖（2），在四邊形中，.在邊，上分別取中點，連接.若，，求線段的長．

類比拓展

頂角為的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為__________(用含的式子表示)

【回答】

*質探究：(或)；理解運用：（1）；（2）；類比拓展：(或)．

【解析】

*質探究

作CD⊥AB於D，則∠ADC=∠BDC=90°，由等腰三角形的*質得出AD=BD，∠A=∠B=30°，由直角三角形的*質得出AC=2CD，AD=CD，得出AB=2AD=2CD，即可得出結果；

理解運用

（1）同上得出則AC=2CD，AD=CD，由等腰三角形的周長得出4CD+2CD=4+2，解得：CD=1，得出AB=2，由三角形面積公式即可得出結果；

（2）①由等腰三角形的*質得出∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，得出∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH即可；

②連接FH，作EP⊥FH於P，由等腰三角形的*質得出PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，由四邊形內角和定理求出∠FEH=120°，由等腰三角形的*質得出∠EFH=30°，由直角三角形的*質得出PE=EF=10，PF=PE=10，得出FH=2PF=20，*MN是△FGH的中位線，由三角形中位線定理即可得出結果；

類比拓展

作AD⊥BC於D，由等腰三角形的*質得出BD=CD，∠BAD=∠BAC=α，由三角函數得出BD=AB×sinα，得出BC=2BD=2AB×sinα，即可得出結果．

【詳解】

*質探究

解：作CD⊥AB於D，如圖①所示：

則∠ADC=∠BDC=90°，

∵AC=BC，∠ACB=120°，

∴AD=BD，∠A=∠B=30°，

∴AC=2CD，AD=CD，

∴AB=2AD=2CD，

∴；

故*為：(或)；

理解運用

（1）解：如圖①所示：同上得：AC=2CD，AD=CD，

∵AC+BC+AB=4+2，

∴4CD+2CD=4+2，

解得：CD=1，

∴AB=2，

∴△ABC的面積=AB×CD=×2×1=；

故*為：

（2）①*：∵EF=EG=EH，

∴∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，

∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH；

②解：連接FH，作EP⊥FH於P，如圖②所示：

則PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，

∴∠FEH=360°-120°-120°=120°，

∵EF=EH，

∴∠EFH=30°，

∴PE= EF=10，

∴PF=PE=10，

∴FH=2PF=20，

∵點M、N分別是FG、GH的中點，

∴MN是△FGH的中位線，

∴MN=FH=10；

類比拓展

解：如圖③所示：作AD⊥BC於D，

∵AB=AC，

∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=α，

∵，

∴BD=AB×sinα，

∴BC=2BD=2AB×sinα，

∴；

故*為：2sinα（或）．

【點睛】

本題是四邊形綜合題目，考查了等腰三角形的*質、直角三角形的*質、三角形中位線定理、四邊形內角和定理、解直角三角形等知識；本題綜合*強，熟練掌握等腰三角形的*質和含30°角的直角三角形的*質是解題的關鍵．

知識點：平行四邊形

題型：綜合題