如圖，四邊形ABCD的頂點在⊙O上，BD是⊙O的直徑，延長CD、BA交於點E，連接AC、BD交於點F，作AH⊥...

問題詳情：

如圖，四邊形ABCD的頂點在⊙O上，BD是⊙O的直徑，延長CD、BA交於點E，連接AC、BD交於點F，作AH⊥CE，垂足為點H，已知∠ADE＝∠ACB．

（1）求*：AH是⊙O的切線；

（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；

（3）若，求*：CD＝DH．

【回答】

（1）*見解析；（2）；（3）*見解析.

【解析】

（1）連接OA，*△DAB≌△DAE，得到AB＝AE，得到OA是△BDE的中位線，根據三角形中位線定理、切線的判定定理*；

（2）利用正弦的定義計算；

（3）*△CDF∽△AOF，根據相似三角形的*質得到CD＝CE，根據等腰三角形的*質*．

【詳解】

（1）*：連接OA，

由圓周角定理得，∠ACB＝∠ADB，

∵∠ADE＝∠ACB，

∴∠ADE＝∠ADB，

∵BD是直徑，

∴∠DAB＝∠DAE＝90°，

在△DAB和△DAE中，

 ，

∴△DAB≌△DAE，

∴AB＝AE，又∵OB＝OD，

∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，

∴OA⊥AH，

∴AH是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，

∴∠E＝∠ACD，

∴AE＝AC＝AB＝6．

在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，

∴sin∠ADB＝＝，即sin∠ACB＝；

（3）*：由（2）知，OA是△BDE的中位線，

∴OA∥DE，OA＝DE．

∴△CDF∽△AOF，

∴＝，

∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE，

∵AC＝AE，AH⊥CE，

∴CH＝HE＝CE，

∴CD＝CH，

∴CD＝DH．

【點睛】

本題考查的是圓的知識的綜合應用，掌握圓周角定理、相似三角形的判定定理和*質定理、三角形中位線定理是解題的關鍵．

知識點：圓的有關*質

題型：解答題