如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=BD，點B、C、D、G四個點在同一個圓⊙O上，連接BG並延長交AD於點F，連...

問題詳情：

如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=BD，點B、C、D、G四個點在同一個圓⊙O上，連接BG並延長交AD於點F，連接DG並延長交AB於點E，BD與CG交於點H，連接FH，下列結論：

①AE=DF；②FH∥AB；③△DGH∽△BGE；④當CG為⊙O的直徑時，DF=AF．

其中正確結論的個數是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【回答】

D【考點】圓的綜合題；全等三角形的*質；等邊三角形的*質．

【專題】壓軸題．

【分析】①由四邊形ABCD是菱形，AB=BD，得出△ABD和△BCD是等邊三角形，再由B、C、D、G四個點在同一個圓上，得出∠ADE=∠DBF，由△ADE≌△DBF，得出AE=DF，

②利用內錯角相等∠FBA=∠HFB，求*FH∥AB，

③利用∠DGH=∠EGB和∠EDB=∠FBA，求*△DGH∽△BGE，

④利用CG為⊙O的直徑及B、C、D、G四個點共圓，求出∠ABF=120°﹣90°=30°，再利用等腰三角形的*質求得DF=AF．

【解答】解：①∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=DC=AD，

又∵AB=BD，

∴△ABD和△BCD是等邊三角形，

∴∠A=∠ABD=∠DBC=∠BCD=∠CDB=∠BDA=60°，

又∵B、C、D、G四個點在同一個圓上，

∴∠DCH=∠DBF，∠GDH=∠BCH，

∴∠ADE=∠ADB﹣∠GDH=60°﹣∠EDB，∠DCH=∠BCD﹣∠BCH=60°﹣∠BCH，

∴∠ADE=∠DCH，

∴∠ADE=∠DBF，

在△ADE和△DBF中，

∴△ADE≌△DBF（ASA）

∴AE=DF

故①正確，

②由①中*得∠ADE=∠DBF，

∴∠EDB=∠FBA，

∵B、C、D、G四個點在同一個圓上，∠BDC=60°，∠DBC=60°，

∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，

∴∠BGE=180°﹣∠BGC﹣∠DGC=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠FGD=60°，

∴∠FGH=120°，

又∵∠ADB=60°，

∴F、G、H、D四個點在同一個圓上，

∴∠EDB=∠HFB，

∴∠FBA=∠HFB，

∴FH∥AB，

故②正確，

③∵B、C、D、G四個點在同一個圓上，∠DBC=60°，

∴∠DGH=∠DBC=60°，

∵∠EGB=60°，

∴∠DGH=∠EGB，

由①中*得∠ADE=∠DBF，

∴∠EDB=∠FBA，

∴△DGH∽△BGE，

故③正確，

④如下圖

∵CG為⊙O的直徑，點B、C、D、G四個點在同一個圓⊙O上，

∴∠GBC=∠GDC=90°，

∴∠ABF=120°﹣90°=30°，

∵∠A=60°，

∴∠AFB=90°，

∵AB=BD，

∴DF=AF，

故④正確，

正確的有①②③④；

故選：D．

【點評】此題綜合考查了圓及菱形的*質，等邊三角形的判定與*質，全等三角形的判定和*質，運用四點共圓找出相等的角是解題的關鍵．解題時注意各知識點的融會貫通．

知識點：相似三角形

題型：選擇題