如圖，在平行四邊形ABCD中，∠D＝60°，對角線AC⊥BC，⊙O經過點A，B，與AC交於點M，連接AO並延長...
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問題詳情：
如圖，在平行四邊形ABCD中，∠D＝60°，對角線AC⊥BC，⊙O經過點A，B，與AC交於點M，連接AO並延長與⊙O交於點F，與CB的延長線交於點E，AB＝EB．
（1）求*：EC是⊙O的切線；
（2）若AD＝2
，求
的長（結果保留π）．
【回答】
（1）見解析；（2）
【解析】
（1）*：連接OB，根據平行四邊形的*質得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠BAC＝30°，根據等腰三角形的*質和三角形的外角的*質得到∠ABO＝∠OAB＝30°，於是得到結論；
（2）根據平行四邊形的*質得到BC＝AD＝2
，過O作OH⊥AM於H，則四邊形OBCH是矩形，解直角三角形即可得到結論．
【詳解】
（1）*：連接OB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC＝∠D＝60°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵BE＝AB，
∴∠E＝∠BAE，
∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，
∴∠E＝∠BAE＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB＝30°，
∴∠OBC＝30°+60°＝90°，
∴OB⊥CE，
∴EC是⊙O的切線；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC＝AD＝2
，
過O作OH⊥AM於H，
則四邊形OBCH是矩形，
∴OH＝BC＝2
，
∴OA＝
＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，
∴
的長度＝
＝
．
【點睛】
本題考查了切線的判定，鋭角三角函數，平行四邊形的*質，矩形的判定和*質，弧長的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：解答題
