有一半徑為的圓柱，靜止在水平地面上，並與豎直牆面相接觸。現有另一質量與相同，半徑為的較細圓柱，用手扶着圓柱，將...

問題詳情：

有一半徑為的圓柱，靜止在水平地面上，並與豎直牆面相接觸。現有另一質量與相同，半徑為的較細圓柱，用手扶着圓柱，將放在的上面，並使之與牆面相接觸，如圖所示，然後放手。已知圓柱與地面的靜摩擦係數為0.20，兩圓柱之間的靜摩擦係數為0.30,，若放手後，兩圓柱體能保持如圖所示的平衡，問：圓柱與牆面間的靜摩擦係數和圓柱的半徑的值各應滿足什麼條件？

【回答】

【解析】

放上圓柱後,圓柱有向下運動的傾向,對圓柱和牆面有壓力.圓柱傾向於向左運動,對牆面沒有壓力.平衡是靠各接觸點的摩擦力維持的.現設系統處於平衡狀態,取圓柱受地面的正壓力為,水平摩擦力為;圓柱受牆面的正壓力為,豎直摩擦力為,圓柱受圓柱的正壓力為,切向摩擦力為;圓柱受圓柱的正壓力為,切向摩擦力為,如圖所示.各力以圖示方向為正方向.

已知圓柱與地面的摩擦係數,兩圓柱間的摩擦係數.設圓柱與牆面的摩擦係數為,過兩圓柱中軸的平面與地面的交角為。

設兩圓柱的質量均為,為了求出以及為保持平衡所需的之值,下面列出兩圓柱所受力和力矩的平衡方程。

對圓柱，有

 ,           ①

 ,                 ②

 .                              ③

對圓柱,有

 ,           ④

 ,              ⑤

.                              ⑥

由於,得

,                   ⑦

式中代表和的大小。又因,於是式①②④⑤四式成為

 ,          ⑧

 ,                   ⑨

 ,         ⑩

 .              ⑪

以上四式是和的聯立方程,解這聯立方程可得

,                               ⑫

，             ⑬

 ，        ⑭

 .            ⑮

式⑫⑬⑭⑮是平衡時所需要的力,沒有問題,但三個力能不能達到所需要的數值，即式⑫⑭要受摩擦係數的制約.三個力中只要有一個不能達到所需的值,在那一點就要發生滑動而不能保持平衡。

首先討論圓柱與牆面的接觸點.接觸點不發生滑動,要求

。

由式⑫得,，

所以，.                          ⑯

再討論圓柱與地面的接觸點的情形.按題設,此處的摩擦係數為,根據摩擦定律，若上面求得的接觸點維持平衡所需的水平力滿足,則圓柱在地面上不滑動;若,這一點將要發生滑動。

圓柱在地面上不發生滑動的條件是

  .          ⑰

由圖乙可知，              ⑱

則.           ⑲

由式⑰⑱⑲以及,可以求得

.                               ⑳

即只有當時,圓柱A在地面上才能不滑動。

最後討論兩圓柱的接觸點.接觸點不發生滑動，要求

 .                   ㉑

由式⑱⑲以及,可解得

.                  ㉒

顯然,在平衡時,的上限為.總結式⑳和式㉒,得到滿足的條件為

.                        ㉓

知識點：專題一 力與物體的平衡

題型：解答題