已知函數f(x)＝x·lnx(e為無理數，e≈2.718)．(1)求函數f(x)在點(e，f(e))處的切線方...

問題詳情：

已知函數f(x)＝x·lnx(e為無理數，e≈2.718)．

(1)求函數f(x)在點(e，f(e))處的切線方程；

(2)設實數a>，求函數f(x)在[a,2a]上的最小值．

【回答】

 (1)∵f(x)＝x·lnx，

∴x>0，f′(x)＝lnx＋1，

∵f(e)＝e，f′(e)＝2，

∴y＝f(x)在(e，f(e))處的切線方程為y＝2(x－e)＋e，

即y＝2x－e.

(2)∵f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝，

當x∈(0，)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，

當x∈(，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

當a≥時，f(x)在[a,2a]上單調遞增，f(x)min＝f(a)＝alna，

當<a<時，a<<2a，f(x)min＝f()＝－.

知識點：導數及其應用

題型：解答題