把幾個圖形拼成一個新的圖形,再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積,可以得到一個等式,也可以求出一些不規則圖...
問題詳情:
把幾個圖形拼成一個新的圖形,再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積,可以得到一個等式,也可以求出一些不規則圖形的面積.
例如,由圖1,可得等式:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2
(1)如圖2,將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為a+b+c的正方形,試用不同的形式表示這個大正方形的面積,你能發現什麼結論?請用等式表示出來.
(2)利用(1)中所得到的結論,解決下面的問題: 已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值.
(3)如圖3,將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起,B,C,G三點在同一直線上,連接BD和BF.若這兩個正方形的邊長滿足a+b=10,ab=20,請求出*影部分的面積.
【回答】
(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;(2)45;(3)20.
【分析】
(1)此題根據面積的不同求解方法,可得到不同的表示方法.一種可以是3個正方形的面積和6個矩形的面積,種是大正方形的面積,可得等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac; (2)利用(1)中的等式直接代入求得*即可; (3)利用S*影=正方形ABCD的面積+正方形ECGF的面積-三角形BGF的面積-三角形ABD的面積求解.
【詳解】
(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;
(2)∵a+b+c=11,ab+bc+ac=38,
∴a2+b2+c2 =(a+b+c)2﹣2(ab+ac+bc)=121﹣76=45;
(3)∵a+b=10,ab=20,
∴S*影=a2+b2﹣(a+b)•b﹣a2
=a2+b2﹣ab
=(a+b)2﹣ab
=×102﹣×20
=50﹣30
=20.
【點睛】
本題考查了完全平方公式幾何意義,解題的關鍵是注意圖形的分割與拼合,會用不同的方法表示同一圖形的面積.
知識點:乘法公式
題型:解答題