如圖，在正四稜錐S﹣ABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，動點P在線段MN上運動時，下列四個結論...

問題詳情：

如圖，在正四稜錐S﹣ABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，動點P在線段MN上運動時，下列四個結論：

①EP⊥AC；

②EP∥BD；

③EP∥面SBD；

④EP⊥面SAC，

其中恆成立的為（　　）

A．①③      B．③④      C．①②      D．②③④

【回答】

A【考點】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．

【分析】如圖所示，連接AC、BD相交於點O，連接EM，EN．

（1）由正四稜錐S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，進而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，利用三角形的中位線可得EM∥BD，MN∥SD，於是平面EMN∥平面SBD，進而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP．

（2）由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，因此不可能EP∥BD；

（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；

（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反*法*：當P與M不重合時，EP與平面SAC不垂直．

【解答】解：如圖所示，連接AC、BD相交於點O，連接EM，EN．

對於（1），由正四稜錐S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．

∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，

∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正確．

對於（2），由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，不可能EP∥BD，因此不正確；

對於（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正確．

對於（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，則EP∥EM，與EP∩EM=E相矛盾，因此當P與M不重合時，EP與平面SAC不垂直．即不正確．

故選：A．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：選擇題