一個幾何體是由圓柱和三稜錐EABC組合而成,點A,B,C在圓O的圓周上,其正視圖、側視圖的面積分別為10和12...

問題詳情：

一個幾何體是由圓柱和三稜錐EABC組合而成,點A,B,C在圓O的圓周上,其正視圖、側視圖的面積分別為10和12,如圖所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC,AE=2.

(1)求*:AC⊥BD;

(2)求二面角ABDC的大小.

【回答】

解:法一　(1)因為EA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,

所以EA⊥AC,

即ED⊥AC.

又因為AC⊥AB,AB∩ED=A,

所以AC⊥平面EBD.

因為BD⊂平面EBD,

所以AC⊥BD.

(2)因為點A,B,C在圓O的圓周上,且AB⊥AC,

所以BC為圓O的直徑.

設圓O的半徑為r,圓柱高為h,根據正視圖、側視圖的面積可得

解得

所以BC=4,AB=AC=2.

過點C作CH⊥BD於點H,連接AH,

由(1)知,AC⊥BD,AC∩CH=C,

所以BD⊥平面ACH.

因為AH⊂平面ACH,

所以BD⊥AH.

所以∠AHC為二面角ABDC的平面角.

由(1)知,AC⊥平面ABD,AH⊂平面ABD,

所以AC⊥AH,

即△CAH為直角三角形.

在Rt△BAD中,AB=2,AD=2,

則BD==2.

由AB·AD=BD·AH,

解得AH=.

因為tan ∠AHC==.

所以∠AHC=60°.

所以二面角ABDC的平面角大小為60°.

法二　(1)因為點A,B,C在圓O的圓周上,且AB⊥AC,所以BC為圓O的直徑.

設圓O的半徑為r,圓柱高為h,根據正視圖、側視圖的面積可得

解得

所以BC=4,AB=AC=2.

以點D為原點,DD1,DE所在的直線分別為x軸、z軸建立如圖的空間直角座標系Dxyz,則D(0,0,0),D1(4,0,0),A(0,0,2),B(2,2,2),

C(2,-2,2),=(2,-2,0),

=(2,2,2).

因為·=(2,-2,0)·(2,2,2)=0,

所以⊥.

所以AC⊥BD.

(2)設n=(x,y,z)是平面BCD的法向量,

=(0,-4,0),

即

取z=-1,則n=(1,0,-1)是平面BCD的一個法向量.

由(1)知,AC⊥BD,

又AC⊥AB,AB∩BD=B,

所以AC⊥平面ABD.

所以=(2,-2,0)是平面ABD的一個法向量.

因為cos<n,>===,

所以<n,>=60°.

而<n,>等於二面角ABDC的平面角,

所以二面角ABDC的平面角大小為60°.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題