已知正三稜錐的高為6，側面與底面成的二面角，則其內切球（與四個面都相切）的表面積為（  ）A.    B.  ...

問題詳情：

已知正三稜錐的高為6，側面與底面成的二面角，則其內切球（與四個面都相切）的表面積為（   ）

A.     B.     C.     D.

【回答】

B

【解析】

【分析】

過點P作PD⊥平面ABC於D，連結並延長AD交BC於E，連結PE，△ABC是正三角形，AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．由此能求出稜錐的全面積，再求出稜錐的體積，設球的半徑為r，以球心O為頂點，稜錐的四個面為底面把正三稜錐分割為四個小稜錐，利用等體積能求出球的表面積．

【詳解】如圖，過點P作PD⊥平面ABC於D，

連結並延長AD交BC於E，連結PE，△ABC是正三角形，

∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．

∴為側面與底面所成的二面角的平面角，

∴=

∵PD=6，∴DE=2,PE=4 , AB=12,

∴S△ABC=×（12）2=36，S△PAB=S△PBC=S△PCA==24．

∴S表=108.

設球的半徑為r，以球心O為頂點，稜錐的四個面為底面把正三稜錐分割為四個小稜錐，

∵PD=6，∴VP﹣ABC=•36•6=72．

則由等體積可得r==2，

∴S球=4π22=16π．

故選B.

【點睛】本題考查稜錐的內切球的半徑的求法，稜錐全面積和體積的求法，考查球的表面積公式，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．

知識點：空間幾何體

題型：選擇題