已知函式，為的導數．*：（1）在區間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點．
來源：國語幫 1.77W
問題詳情：
已知函式
，
為
的導數．*：
（1）
在區間
存在唯一極大值點；
（2）
有且僅有2個零點．
【回答】
（1）見解析；（2）見解析
【解析】
（1）求得導函式後，可判斷出導函式在
上單調遞減，根據零點存在定理可判斷出
，使得
，進而得到導函式在
上的單調*，從而可*得結論；（2）由（1）的結論可知
為
在
上的唯一零點；當
時，首先可判斷出在
上無零點，再利用零點存在定理得到
在
上的單調*，可知
，不存在零點；當
時，利用零點存在定理和
單調*可判斷出存在唯一一個零點；當
，可*得
；綜合上述情況可*得結論.
【詳解】
（1）由題意知：
定義域為：
且
令
，
，
在
上單調遞減，
在
上單調遞減
在
上單調遞減
又
，
，使得
當
時，
；
時，
即
在
上單調遞增；在
上單調遞減
則
為
唯一的極大值點
即：
在區間
上存在唯一的極大值點
.
（2）由（1）知：
，
①當
時，由（1）可知
在
上單調遞增
在
上單調遞減
又
為
在
上的唯一零點
②當
時，
在
上單調遞增，在
上單調遞減
又
在
上單調遞增，此時
，不存在零點
又
，使得
在
上單調遞增，在
上單調遞減
又
，
在
上恆成立，此時不存在零點
③當
時，
單調遞減，
單調遞減
在
上單調遞減
又
，
即
，又
在
上單調遞減
在
上存在唯一零點
④當
時，
，
即
在
上不存在零點
綜上所述：
有且僅有
個零點
【點睛】
本題考查導數與函式極值之間的關係、利用導數解決函式零點個數的問題.解決零點問題的關鍵一方面是利用零點存在定理或最值點來說明存在零點，另一方面是利用函式的單調*說明在區間內零點的唯一*，二者缺一不可.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
