已知函式(其中為自然對數的底數).(1)若,求函式在區間上的最大值;(2)若,關於的方程有且僅有一個根,求實數...
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問題詳情:
已知函式(其中為自然對數的底數).
(1)若,求函式在區間上的最大值;
(2)若,關於的方程有且僅有一個根, 求實數的取值範圍;
(3)若對任意,不等式均成立, 求實數的取值範圍.
【回答】
試題解析:(1)當時,, 故在上單調遞減,上單調遞增, 當時,, 當時,, 故在區間上.
(2)當時, 關於的方程為有且僅有一個實根, 則有且僅有一個實根, 設,則,
因此在和上單調遞減, 在上單調遞增,, 如圖所示, 實數的取值範圍是.
(3)不妨設,則恆成立.
因此恆成立, 即恆成立,
且恆成立, 因此和均在上單調遞增,
設,
則在上上恆成立, 因此在上恆成立因此,而在上單調遞減, 因此時,.由在上恆成立, 因此在上恆成立, 因此,設,則.當時,, 因此在內單調遞減, 在內單調遞增,因此.綜上述,.
考點:利用導數求閉區間上函式的最值;根的存在*及根的個數判斷;利用導數研究函式的單調*
知識點:基本初等函式I
題型:解答題