已知函式且.（1）求a；（2）*：存在唯一的極大值點，且.

問題詳情：

已知函式且.

（1）求a；

（2）*：存在唯一的極大值點，且.

【回答】

（1）a=1；（2）見解析.

【分析】

（1）通過分析可知f（x）≥0等價於h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，進而利用h′（x）＝a可得h（x）min＝h（），從而可得結論；

（2）通過（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，記t（x）＝f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，從而可知f′（x）＝0存在兩根x0，x2，利用f（x）必存在唯一極大值點x0及x0可知f（x0），另一方面可知f（x0）＞f（）．

【詳解】

（1）解：因為f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），

則f（x）≥0等價於h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求導可知h′（x）＝a．

則當a≤0時h′（x）＜0，即y＝h（x）在（0，+∞）上單調遞減，

所以當x0＞1時，h（x0）＜h（1）＝0，矛盾，故a＞0．

因為當0＜x時h′（x）＜0、當x時h′（x）＞0，

所以h（x）min＝h（），

又因為h（1）＝a﹣a﹣ln1＝0，

所以1，解得a＝1；

另解：因為f（1）＝0，所以f（x）≥0等價於f（x）在x＞0時的最小值為f（1），

所以等價於f（x）在x＝1處是極小值，

所以解得a＝1；

（2）*：由（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，

令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，記t（x）＝2x﹣2﹣lnx，則t′（x）＝2，

令t′（x）＝0，解得：x，

所以t（x）在區間（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，

所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，從而t（x）＝0有解，即f′（x）＝0存在兩根x0，x2，

且不妨設f′（x）在（0，x0）上為正、在（x0，x2）上為負、在（x2，+∞）上為正，

所以f（x）必存在唯一極大值點x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，

所以f（x0）x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0，

由x0可知f（x0）＜（x0）max；

由f′（）＜0可知x0，

所以f（x）在（0，x0）上單調遞增，在（x0，）上單調遞減，

所以f（x0）＞f（）；

綜上所述，f（x）存在唯一的極大值點x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．

【點睛】

本題考查利用導數研究函式的極值，考查運算求解能力，考查轉化思想，注意解題方法的積累，屬於難題．

知識點：導數及其應用

題型：解答題