如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，下面四個結論：①△AEF∽△CAB...

問題詳情：

如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，下面四個結論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=，其中正確的結論有（　　）

A．1個       B．2個 C．3個       D．4個

【回答】

D【考點】相似三角形的判定與*質；矩形的*質；解直角三角形．

【分析】①正確．只要*∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；

②正確．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出=，由AE=AD=BC，推出=，即CF=2AF；

③正確．只要*DM垂直平分CF，即可*；

④正確．設AE=a，AB=b，則AD=2a，由△BAE∽△ADC，有=，即b=a，可得tan∠CAD===；

【解答】解：如圖，過D作DM∥BE交AC於N，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC於點F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正確；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴=，

∵AE=AD=BC，

∴=，

∴CF=2AF，故②正確；

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四邊形BMDE是平行四邊形，

∴BM=DE=BC，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC於點F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF=DC，故③正確；

設AE=a，AB=b，則AD=2a，

由△BAE∽△ADC，有=，即b=a，

∴tan∠CAD===故④正確；

故選D．

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和*質，矩形的*質，圖形面積的計算以及解直角三角形的綜合應用，正確的作出輔助線構造平行四邊形是解題的關鍵．解題時注意：相似三角形的對應邊成比例

知識點：相似三角形

題型：選擇題