新晨投資公司擬投資開發某項新產品,市場評估能獲得10~1000萬元的投資收益.現公司準備制定一個對科研課題組的...
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問題詳情:
新晨投資公司擬投資開發某項新產品,市場評估能獲得10~1000萬元的投資收益.現公司準備制定一個對科研課題組的獎勵方案:獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,且獎金不低於1萬元,同時不超過投資收益的20%.
(1)設獎勵方案的函數模型為f(x),試用數學語言表述公司對獎勵方案的函數模型f(x)的基本要求.
(2)下面是公司預設的兩個獎勵方案的函數模型:
①f(x)=+2;②f(x)=4lgx-2.
試分別分析這兩個函數模型是否符合公司要求.
【回答】
【解析】(1)由題意知,公司對獎勵方案的函數模型f(x)的基本要求是:
當x∈[10,1000]時,
①f(x)是增函數;②f(x)≥1恆成立;③f(x)≤恆成立,
(2)①對於函數模型f(x)=+2:
當x∈[10,1000]時,f(x)是增函數,
則f(x)≥1顯然恆成立,
而若使函數f(x)=+2≤在[10,1000]上恆成立,整理即29x≥300恆成立,而(29x)min=290,所以f(x)≤不恆成立.
故該函數模型不符合公司要求.
②對於函數模型f(x)=4lgx-2:
當x∈[10,1000]時,f(x)是增函數,
則f(x)min=f(10)=4lg10-2=2>1.
所以f(x)≥1恆成立.
設g(x)=4lgx-2-,則g′(x)=-.
當x≥10時,g′(x)=-≤=<0,
所以g(x)在[10,1000]上是減函數,
從而g(x)≤g(10)=4lg10-2-2=0.
所以4lgx-2-≤0,即4lgx-2≤,所以f(x)≤恆成立.
故該函數模型符合公司要求.
知識點:統計案例
題型:解答題