在任意n(n>1且為整數)位正整數K的首位後添加6得到的新數叫做K的“順數”,在K的末位前添加6得到的新數叫做...
問題詳情:
在任意n(n>1且為整數)位正整數K的首位後添加6得到的新數叫做K的“順數”,在K的末位前添加6得到的新數叫做K的“逆數”.若K的“順數”與“逆數”之差能被17整除,稱K是“最佳拍檔數”.比如1324的“順數”為16324,1324的“逆數”為13264,1324的“順數”與“逆數”之差為16324﹣13264=3060,3060÷17=180,所以1324是“最佳拍檔數”.
(1)請根據以上方法判斷31568 (填“是”或“不是”)“最佳拍檔數”;若一個首位是5的四位“最佳拍檔數”N,其個位數字與十位數字之和為8,且百位數字不小於十位數字,求所有符合條件的N的值.
(2)*:任意三位或三位以上的正整數K的“順數”與“逆數”之差一定能被30整除.
【回答】
(1)解:31568的“順數”為361568,31568的“逆數”為315668,31568的“順數”與“逆數”之差為361568﹣315668=45900,45900÷17=2700,所以31568是“最佳拍檔數”;
設“最佳拍檔數”N的十位數字為x,百位數字為y,則個位數字為8﹣x,y≥x,
N=5000+100y+10x+8﹣x=100y+9x+5008,
∵N是四位“最佳拍檔數”,
∴50000+6000+100y+10x+8﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x],
=6000+100y+9x+8﹣1000y﹣100x﹣68+x,
=5940﹣90x﹣900y,
=90(66﹣x﹣10y),
∴66﹣x﹣10y能被17整除,
①x=2,y=3時,66﹣x﹣10y=34,能被17整除,此時N為5326;
②x=3,y=8時,66﹣x﹣10y=﹣17,能被17整除,此時N為5835;
③x=5,y=1時,66﹣x﹣10y=51,能被17整除,但x>y,不符合題意;
④x=6,y=6時,66﹣x﹣10y=0,能被17整除,此時N為5662;
⑤x=8,y=3時,66﹣x﹣10y=28,不能被17整除,但x>y,不符合題意;
⑥當x=9,y=4時,66﹣x﹣10y=17,能被17整除,但x>y,不符合題意;
綜上,所有符合條件的N的值為5326,5835,5662;
故*為:是;
(2)*:設三位正整數K的個位數字為x,十位數字為y,百位數字為z,
它的“順數”:1000z+600+10y+x,
它的“逆數”:1000z+100y+60+x,
∴(1000z+600+10y+x)﹣(1000z+100y+60+x)=540﹣90y=90(6﹣y),
∴任意三位正整數K的“順數”與“逆數”之差一定能被30整除,
設四位正整數K的個位數字為x,十位數字為y,百位數字為z,千位數字為a,
∴(10000a+6000+100z+10y+x)﹣(10000a+1000z+100y+60+x)=5940﹣900z﹣90y=90(66﹣10z﹣y),
∴任意四位正整數K的“順數”與“逆數”之差一定能被30整除,
同理得:任意三位或三位以上的正整數K的“順數”與“逆數”之差一定能被30整除.
【點評】本題主要考查了“順數”、“逆數”、“最佳拍檔數”的定義及應用,熟練掌握幾位數的表示方法,理解新定義,計算“順數”與“逆數”之差,分解因式是解題的關鍵.
知識點:實際問題與一元一次方程
題型:解答題