已知橢圓內有一點P（2，1）,過點P作直線交橢圓於 A、B兩點。(1).若弦AB恰好被點P平...
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問題詳情：
已知橢圓
內有一點P（2，1）,過點P作直線交橢圓於
A、B兩點。
(1).若弦AB恰好被點P平分，求直線AB的方程；
(2).當原點O到直線AB的距離取最大值時，求△AOB的面積。
【回答】
解：(1).設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的斜率為k
由A、B在橢圓上，得 
又∵ P（2，1）是AB的中點 ， ∴ 
……….…2分
由①－② 得 
∴ k=
=－
…………...….4分
∴ 直線AB的方程為y－1=－
(x－2) 即 8x+9y－25=0 ；……6分
(2).當原點O到直線AB的距離取最大值時 OP⊥AB
∵ kOP=
∴ kAB=－2
∴ 直線AB的方程為 y－1=－2(x－2) 即 2x+y-5=0 ……8分
聯立方程組 
得 40x2-180x+189=0
設A(x1,y1),B(x2,y2), 則 
∴ |AB|=
=
…………………10分
∴ S△AOB=
|OP||AB|=
。 …………………………12分
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
