如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4cm，AD=6cm，BC=9cm，點P從點A出發，...

問題詳情：

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4cm，AD=6cm，BC=9cm，點P從點A出發，以2cm/s的速度沿A→D→C方向向點C運動；同時點Q從點C出發，以1cm/s的速度沿C→B方向向點B運動，設點Q運動時間為ts，△APQ的面積為Scm2．

（1）DC=　　cm，sin∠BCD=　　．

（2）當四邊形PDCQ為平行四邊形時，求t的值．

（3）求S與t的函式關係式．

（4）若S與t的函式圖象與直線S=k（k為常數）有三個不同的交點，則k的取值範圍是　　．

【回答】

【考點】四邊形綜合題．

【分析】（1）如圖1，作高線DE，*四邊形ABED是矩形，再利用勾股定理求DC的長，在Rt△DEC中，求出

sin∠BCD==；

（2）當四邊形PDCQ為平行四邊形時，點P在AD上，如圖2，根據PD=CQ列方程得：6﹣2t=t，解出即可；

（3）分三種情況：

①當0＜t≤3時，點P在邊AD上，如圖3，直接利用面積公式求S即可；

②當3＜t≤時，點P在邊CD上，如圖4，利用梯形面積減去三個三角形面積的差求S；

③當＜t≤9時，點P與C重合，Q在BC上，如圖5，直接利用面積公式求S即可；

（4）畫出圖象，根據圖象得出結論．

【解答】解：（1）過D作DE⊥BC於E，則∠BED=90°，

∵AD∥BC，

∴∠B+∠BAD=180°，

∵∠B=90°，

∴∠B=∠BAD=90°，

∴四邊形ABED是矩形，

∴AD=BE=6，DE=AB=4，

∴EC=BC﹣BE=9﹣6=3，

在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC=5，

sin∠BCD==，

故*為：5，；

（2）由題意得：AP=2t，CQ=t，

則PD=6﹣2t，

當四邊形PDCQ為平行四邊形時，如圖2，

則PD=CQ，

∴6﹣2t=t，

∴t=2；

（3）分三種情況：

①當0＜t≤3時，點P在邊AD上，如圖3，

S=AP•AB=×4×2t=4t；

②當3＜t≤時，點P在邊CD上，如圖4，

過P作MN⊥BC，交BC於N，交AD的延長線於M，

由題意得：CQ=t，BQ=9﹣t，PA=2t，PD=2t﹣6，

∴PC=5﹣PD=5﹣（2t﹣6）=11﹣2t，

由圖1得：sin∠C=，

，

PN=，

∴PM=4﹣PN=4﹣=，

S=S梯形ABCD﹣S△PQC﹣S△ABQ﹣S△APD，

=﹣﹣×﹣=；

③當＜t≤9時，點P與C重合，Q在BC上，如圖5，

S==2t；

綜上所述，S與t的函式關係式為：S=．

（4）如圖6，S=；

S的最小值為： =，

當t=3時，S=4×3=12，

∴則k的取值範圍是：＜k＜12．

故*為：＜k＜12．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題