如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P為BC邊上一點(不...
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問題詳情:
如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P為BC邊上一點(不與B,C重合),連線AP,過P點作PE交DC於E,使得∠APE=∠B.
(1)求*:△ABP∽△PCE;
(2)求AB的長;
(3)在邊BC上是否存在一點P,使得DE:EC=5:3?如果存在,求BP的長;如果不存在,請說明理由.
【回答】
(1)先利用平角的定義和三角形的內角和定理判斷出∠BAP=∠CPE,再判斷出四邊形ABCD是等腰梯形,進而得出∠B=∠C,即可得出結論;
(2)利用等腰梯形的*質求出BF,進而求出AB,即可得出結論;
(3)先求出CD=4,進而求出CE,最後藉助(1)的結論得出比例式建立方程求解,即可得出結論.
解:(1)在△ABP中,∠B+∠BAP+∠APB=180°
∵∠APE=∠B,∴∠APE+∠BAP+∠APB=180°,
∵∠APB+∠APE+∠CPE=180°,∴∠BAP=∠CPE,
∵AD∥BC,AD=3,BC=7,∴四邊形ABCD是梯形,
∵AB=DC,∴∠B=∠C,∴△ABP∽△PCE;
(2)如圖,過點A作AF⊥BC於F,
在梯形ABCD中,AB=CD,∴BF=(BC﹣AD)=2,
在Rt△ABF中,∠B=60°,∴∠BAF=30°,∴AB=2BF=4;
(3)由(2)知,AB=4,∵CD=AB,∴CD=4,
∵DE:EC=5:3,∴CE=CD=×4=,∵BC=7,∴CP=BC﹣BP=7﹣BP,
由(1)知,△ABP∽△PCE,∴,∴,∴BP2﹣7BP+6=0,
∴BP=1或BP=6,∵點P在BC上,∴0<BP<7,
∴BP=1或BP=6.
知識點:(補充)梯形
題型:解答題