如圖,D是△ABC外接圓上的動點,且B,D位於AC的兩側,DE⊥AB,垂足為E,DE的延長線交此圓於點F,BG...
問題詳情:
如圖,D是△ABC外接圓上的動點,且B,D位於AC的兩側,DE⊥AB,垂足為E,DE的延長線交此圓於點F,BG⊥AD,垂足為G,BG交DE於點H,DC,FB的延長線交於點P,且PC=PB,
(1)求*:BG∥CD;
(2)設△ABC外接圓的圓心為O,若AB=DH,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.
【回答】
(1)*見解析;(2)20°或40°.
【分析】
(1)根據等邊對等角得:∠PCB=∠PBC,由四點共圓的*質得:∠BAD+∠BCD=180°,從而得:∠BFD=∠PCB=∠PBC,根據平行線的判定得:BC∥DF,可得∠ABC=90°,AC是⊙O的直徑,從而得:∠ADC=∠AGB=90°,根據同位角相等可得結論;
(2)先*四邊形BCDH是平行四邊形,得BC=DH,根據特殊的三角函數值得:∠ACB=60°,∠BAC=30°,所以DH=AC,分兩種情況:
①當點O在DE的左側時,如圖2,作輔助線,構建直角三角形,由同弧所對的圓周角相等和互餘的*質得:∠AMD=∠ABD,則∠ADM=∠BDE,並由DH=OD,可得結論;
②當點O在DE的右側時,如圖3,同理作輔助線,同理有∠ADE=∠BDN=20°,∠ODH=20°,得結論.
【詳解】
(1)*:如圖1,
∵PC=PB,
∴∠PCB=∠PBC,
∵四邊形ABCD內接於圓,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∵∠BCD+∠PCB=180°,
∴∠BAD=∠PCB,
∵∠BAD=∠BFD,
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC,
∴BC∥DF,
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∴∠ABC=90°,
∴AC是⊙O的直徑,
∴∠ADC=90°,
∵BG⊥AD,
∴∠AGB=90°,
∴∠ADC=∠AGB,
∴BG∥CD;
(2)由(1)得:BC∥DF,BG∥CD,
∴四邊形BCDH是平行四邊形,
∴BC=DH,
在Rt△ABC中,∵AB=DH,
∴tan∠ACB=,
∴∠ACB=60°,∠BAC=30°,
∴∠ADB=60°,BC=AC,
∴DH=AC,
①當點O在DE的左側時,如圖2,作直徑DM,連接AM、OH,則∠DAM=90°,
∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB,
∴∠BED=90°,
∴∠BDE+∠ABD=90°,
∵∠AMD=∠ABD,
∴∠ADM=∠BDE,
∵DH=AC,
∴DH=OD,
∴∠DOH=∠OHD=80°,
∴∠ODH=20°
∵∠AOB=60°,
∴∠ADM+∠BDE=40°,
∴∠BDE=∠ADM=20°,
②當點O在DE的右側時,如圖3,作直徑DN,連接BN,
由①得:∠ADE=∠BDN=20°,∠ODH=20°,
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°,
綜上所述,∠BDE的度數為20°或40°.
【點睛】
本題考查圓的有關*質,等腰三角形的判定和*質,平行線的*質和判定,平行四邊形的*質和判定,解直角三角形等知識,考查了運算能力、推理能力,並考查了分類思想.
知識點:圓的有關*質
題型:解答題