如圖所示,、、為三個質點,的質量遠遠大於、的質量,和的質量相等。已知、之間,、之間存在相互吸引力。、之間存在相...
問題詳情:
如圖所示,、、為三個質點,的質量遠遠大於、的質量,和的質量相等。已知、之間,、之間存在相互吸引力。、之間存在相互排斥力,三個把質點在相互間引力或斥力的作用下運動,如果作用力合適,可以存在一種如下形式的運動:
A、、的相對位置固定,它們構成一個平面,三個質點繞着位於這個平面內的某條軸勻速轉動;因為質點的質量遠遠大於、的質量,可認為該軸過質點且固定不動;連線與轉軸的夾角與連線與轉軸的夾角不相等,且,。
若之間吸引力的大小,之間吸引力的大小為,其中、分別為、與、之間的距離,為比例係數,不計重力的影響。試問的值在什麼範圍內,上述運動才能實現?
【回答】
解法1:
以表示質點的質點,表示連線與豎直方向的夾角,表示轉動角速度,表示間排斥力的大小。根據牛頓定律有
, (1)
, (2)
, (3)
。 (4)
由(1)、(3)兩式並利用(2)、(4)兩式可得
。 (5)
考慮到幾何關係
(6)
並利用已知和的表示式。可由(5)得到
(7)
又,由(2)、(4)式可得。 (8)
帶入已知的和的表達式可得
。 (9)
聯立(7)、(9)從而有
。 (10)
如果,則意味着方程
(11)
在區間有兩個不同的解,其中為某一合適的常數。這要求函數在區間不能是單調函數,也就是説和不能同時為單調增函數或單調減函數。因此當增大時,若增大,則應減小;反之,若減小,則應增大,故與同號。因此有
(12)
。 (13)
對,可知在及時均為零,因此在區間一定存在極值點,意味着方程(11)在合適選取的情況下必有兩個或兩個以上的不同解。對亦然。因此條件(12)、(13)是符合題意要求的充分必要條件。
評分標準:(1)~(4)式各1分,(6)式1分,(10)式6分,(12)、(13)式及其以下説明共4分。
解法2:
如圖,設、間的排斥力是,它們受到的吸引力分別是、,向心力分別是、,距離分別是、;根據三角形的相似關係,有
, (1a)
。 (2a)
以上兩式相比可得
(3a)
依題意有
, (4a)
, (5a)
, (6a)
將(4a)~(6a)代入(3a)得
。 (7a)
由(7a)得
。 (8a)
之後的討論與“參考解答1”相同。
評分標準:考慮“參考解答1”。
知識點:物理競賽
題型:綜合題