我國著名數學家華羅庚曾説過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”．數學中，數和形...

問題詳情：

我國著名數學家華羅庚曾説過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”．數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有着十分密切的聯繫，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透．

數形結合的基本思想，就是在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形*質的問題轉化為數量關係的問題，或者把數量關係的問題轉化為圖形*質的問題，使複雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案．

例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整數．

對於這個求和問題，如果採用純代數的方法（首尾兩頭加），問題雖然可以解決，但在求和過程中，需對n的奇偶*進行討論．

如果採用數形結合的方法，即用圖形的*質來説明數量關係的事實，那就非常的直觀．現利用圖形的*質來求1＋2＋3＋4＋…＋n 的值，方案如下：如圖，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3，…，n個小圓圈排列組成的．而組成整個三角形小圓圈的個數恰為所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n的值．為求式子的值，現把左邊三角形倒放於斜線右邊，與原三角形組成一個平行四邊形．此時，組成平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有（n＋1）個小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個數為n（n＋1）個，因此，組成一個三角形小圓圈的個數為，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝．

（1）仿照上述數形結合的思想方法，設計相關圖形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中 n 是正整數．（要求：畫出圖形，並利用圖形做必要的推理説明）

（2）試設計另外一種圖形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整數．（要求：畫出圖形，並利用圖形做必要的推理説明）

【回答】

解：（1）

因為組成此平行四邊形的小圓圈共有n 行，每行有[（2n －1）＋1]個，即2n 個，

所以組成此平行四邊形的小圓圈共有（n×2n）個，即2n2個．

∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝＝n2

（2）因為組成此正方形的小圓圈共有n 行，每行有n個，所以共有（n×n）個， 即n2 個．

∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n2 ．

知識點：整式的加減

題型：實驗,探究題