已知F1，F2分別為雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線C的左右兩支分別交於...

問題詳情：

已知F1，F2分別為雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線C的左右兩支分別交於A，B兩點，若|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，則雙曲線的離心率為（　　）

A．            B．             C．2               D．

【回答】

A．解：|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，

設|AF1|＝t，|AB|＝3x，則|BF2|＝4x，|AF2|＝5x，

根據雙曲線的定義，得|AF2|﹣|AF1|＝|BF1|﹣|BF2|＝2a，

即5x﹣t＝（3x+t）﹣4x＝2a，

解得t＝3a，x＝a，

即|AF1|＝3a，|AF2|＝5a，

∵|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，得△ABF2是以B為直角的Rt△，

∴cos∠BAF2＝＝，

可得cos∠F2AF1＝﹣，

△F2AF1中，|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos∠F2AF1

＝9a2+25a2﹣2×3a×5a×（﹣）＝52a2，

可得|F1F2|＝2a，即c＝a，

因此，該雙曲線的離心率e＝＝．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：選擇題