設雙曲線C：的離心率為e，右頂點為A，點Q（3a，0），若C上存在一點P，使得AP⊥PQ，則（　　）A． B．...

問題詳情：

設雙曲線C：的離心率為e，右頂點為A，點Q（3a，0），若C上存在一點P，使得AP⊥PQ，則（　　）

A．  B．    C．  D．

【回答】

A考點】雙曲線的簡單*質．

【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、*質與方程．

【分析】P（m，n），根據數量積為零算出（m﹣a）（3a﹣m）﹣n2=0，結合點P（m，n）在雙曲線上消去n，得關於m的一元二次方程（m﹣a）（3a﹣m）﹣b2（﹣1）=0，此方程的一個根為a，而另一個根為大於a的實數，由此建立關於a、b、c不等式關係，化簡整理即可得到離心率e的取值範圍．

【解答】解：設點P（m，n），可得=（m﹣a，n），=（3a﹣m，﹣n），

∵AP⊥PQ，

∴•=（m﹣a）（3a﹣m）﹣n2=0…（1）

又∵P（m，n）在雙曲線上，

∴得n2=b2（﹣1）…（2）

將（2）式代入（1）式，得（m﹣a）（3a﹣m）﹣b2（﹣1）=0，

化簡整理，得﹣m2+4am+c2﹣4a2=0，

此方程的一根為m1=a，另一根為m2=．

∵點P是雙曲線上異於右頂點A的一點，

∴＞a，得4a2＞2c2，即e2＜2，

由此可得雙曲線的離心率e滿足1＜e＜．

故選：A．

【點評】本題給出雙曲線上存在一點P，到A（a，0）和Q（3a，0）所張的角等於90°，求雙曲線離心率的取值範圍，着重考查了雙曲線的簡單幾何*質和直線與雙曲線關係等知識，屬於中檔題．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：選擇題