已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程．(2)從...

問題詳情：

已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．

(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程．

(2)從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為座標原點，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的座標．

【回答】

解 (1)將圓C整理得(x＋1)2＋(y－2)2＝2．

①當切線在兩座標軸上的截距為零時，設切線方程為y＝kx，

∴圓心到切線的距離為＝，即k2－4k－2＝0，解得k＝2±．

∴y＝(2±)x；

②當切線在兩座標軸上的截距不為零時，設切線方程為x＋y－a＝0，

∴圓心到切線的距離為＝，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1．

∴x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．綜上所述，所求切線方程為y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．

(2)∵|PO|＝|PM|，

∴x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即點P在直線l：2x－4y＋3＝0上．

當|PM|取最小值時，即|OP|取得最小值，此時直線OP⊥l，

∴直線OP的方程為：2x＋y＝0，

解得方程組得

∴P點座標為．

知識點：圓與方程

題型：解答題