某房地產商建有三棟樓宇，三樓宇間的距離都為2千米，擬準備在此三樓宇圍成的區域外建第四棟樓宇，規劃要求樓宇對樓宇...

問題詳情：

某房地產商建有三棟樓宇，三樓宇間的距離都為2千米，擬準備在此三樓宇圍成的區域外建第四棟樓宇，規劃要求樓宇對樓宇，的視角為，如圖所示，假設樓宇大小高度忽略不計．

（1）求四棟樓宇圍成的四邊形區域面積的最大值；

（2）當樓宇與樓宇，間距離相等時，擬在樓宇，間建休息亭，在休息亭和樓宇，間分別鋪設鵝卵石路和防腐木路，如圖，已知鋪設鵝卵石路、防腐木路的單價分別為，（單位：元千米，為常數）．記，求鋪設此鵝卵石路和防腐木路的總費用的最小值．

【回答】

（1）圍成的四邊形區域 的面積的最大值 平方千米；（2）總費用的最小值元.

【解析】

（1）由樓宇對樓宇，的視角為得樓宇D在一段圓弧上，則相等時，可得最大，固定，計算此時四邊形的面積即可．

（2）用表示出，，從而表示出鋪設此鵝卵石路和防腐木路的總費：，再利用導數判斷的單調*，從而求得它的最小值，問題得解．

【詳解】

（1）若且唯若：時，取得等號，所以的最大值為

又因為四邊形的面積

所以四邊形的面積的最大值為.

答：四棟樓宇圍成的四邊形區域的面積的最大值平方千米.

（2）當樓宇與樓宇間距離相等時

由（1）得：

則，又因為，所以，因為等邊三角形

所以，所以

在中，，所以

，則

所以鋪設鵝卵石路和防腐木路的總費用

令

因為，所以

所以當時，

即：的最小值為

答：鋪設此鵝卵石路和防腐木路的總費用的最小值元.

【點睛】

本題主要考查了圓的*質，三角形面積計算，還考查了函數思想及轉化思想，計算能力及利用導數求函數的最值，考查了實際問題建模，屬於難題．

知識點：基本初等函數I

題型：解答題