設f′(x)和g′(x)分別是函數f(x)和g(x)的導函數,若f′(x)·g′(x)≤0在區間I上恆成立,則...
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問題詳情:
設f′(x)和g′(x)分別是函數f(x)和g(x)的導函數,若f′(x)·g′(x)≤0在區間I上恆成立,則稱函數f(x)和g(x)在區間I上單調*相反.若函數f(x)=x3-2ax與函數g(x)=x2+2bx在開區間(a,b)(a>0)上單調*相反,則b-a的最大值等於____________.
【回答】
解析:因為g(x)=x2+2bx在區間(a,b)上為單調增函數,所以f(x)=x3-2ax在區間(a,b)上單調減,故x∈(a,b),f′(x)=x2-2a≤0,即a≥,而b>a,所以b∈(0,2),b-a≤b-=-(b-1)2+,當b=1時,b-a的最大值為.本題主要考查二次函數的單調*、最值問題和導數在單調*中的運用以及恆成立問題.本題屬於難題.
知識點:導數及其應用
題型:填空題