在平面直角坐标系XOY中,抛物线y=ax2+bx+4经过A(﹣3,0)、B(4,0)两点,且与y轴交于点C,点...
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问题详情:
在平面直角坐标系XOY中,抛物线y=ax2+bx+4经过A(﹣3,0)、B(4,0)两点,且与y轴交于点C,点D在x轴的负半轴上,且BD=BC,有一动点P从点A出发,沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动,同时另一个动点Q从点C出发,沿线段CA以某一速度向点A移动.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若经过t秒的移动,线段PQ被CD垂直平分,求此时t的值;
(3)该抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MA的值最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+4经过A(﹣3,0),B(4,0)两点,
∴,解得,
∴所求抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+4;
(2)如图1,依题意知AP=t,连接DQ,
∵A(﹣3,0),B(4,0),C(0,4),
∴AC=5,BC=4,AB=7.
∵BD=BC,
∴AD=AB﹣BD=7﹣4,
∵CD垂直平分PQ,
∴QD=DP,∠CDQ=∠CDP.
∵BD=BC,
∴∠DCB=∠CDB.
∴∠CDQ=∠DCB.
∴DQ∥BC.
∴△ADQ∽△ABC.
∴=,
∴=,
∴=,
解得DP=4﹣,
∴AP=AD+DP=.
∴线段PQ被CD垂直平分时,t的值为;
(3)如图2,设抛物线y=﹣x2+x+4的对称轴x=与x轴交于点E.点A、B关于对称轴x=对称,连接BQ交该对称轴于点M.
则MQ+MA=MQ+MB,即MQ+MA=BQ,
∵当BQ⊥AC时,BQ最小,此时,∠EBM=∠ACO,
∴tan∠EBM=tan∠ACO=,∴=,∴=,解ME=.
∴M(,),即在抛物线y=﹣x2+x+4的对称轴上存在一点M(,),使得MQ+MA的值最小.
知识点:函数的应用
题型:解答题