如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求...

问题详情：

如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．

（1）求*：∠BDC=∠A；

（2）若CE=2，DE=2，求AD的长．

（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．

【回答】

【考点】MC：切线的*质；MN：弧长的计算．

【分析】（1）连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC=90°，根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰三角形的*质得到∠ADO=∠A，即可得到结论；

（2）根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的*质得到∠DCE=∠BDC，根据相似三角形的*质得到=，解方程即可得到结论；

（3）利用三角函数求得∠DCE的度数，根据△AEC∽△CED，求得∠A的度数，则∠DIB即可求得，然后在直角△ABD中求得BD，从而求得半径，然后利用弧长公式求解．

【解答】（1）*：连接OD，

∵CD是⊙O切线，

∴∠ODC=90°，

即∠ODB+∠BDC=90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

即∠ODB+∠ADO=90°，

∴∠BDC=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠A，

∴∠BDC=∠A；

（2）∵CE⊥AE，

∴∠E=∠ADB=90°，

∴DB∥EC，

∴∠DCE=∠BDC，

∵∠BDC=∠A，

∴∠A=∠DCE，

∵∠E=∠E，

∴△AEC∽△CED，

∴=，

∴EC2=DE•AE，

∴（2）2=2（2+AD），

∴AD=4．

（3）∵直角△CDE中，tan∠DCE===，

∴∠DCE=30°，

又∵△AEC∽△CED，

∴∠A=∠DCE=30°，

∴∠DOB=2∠A=60°，BD=AD•tanA=4×=，

∴△OBD是等边三角形，则OD=BD=，

则弧BD的长是=．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题