如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长...
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问题详情：
如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且
=
．
（1）求*：PD是⊙O的切线；
（2）若AD=12，AM=MC，求
的值．
【回答】
【解答】（1）*：连接OD、OP、CD．
∵
=
，∠A=∠A，
∴△ADM∽△APO，
∴∠ADM=∠APO，
∴MD∥PO，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OM，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∵OP=OP，OD=OC，
∴△ODP≌△OCP，
∴∠ODP=∠OCP，
∵BC⊥AC，
∴∠OCP=90°，
∴OD⊥AP，
∴PD是⊙O的切线．
（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，
∵AM=MC，
∴AM=2MO=2R，
在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，
∴R2+122=9R2，
∴R=3
，
∴OD=3
，MC=6
，
∵
=
=
，
∴DP=6，
∵O是MC的中点，
∴
=
=
，
∴点P是BC的中点，
∴BP=CP=DP=6，
∵MC是⊙O的直径，
∴∠BDC=∠CDM=90°，
在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6
，
∴BM=6
，
∵△BCM∽△CDM，
∴
=
，即
=
，
∴MD=2
，
∴
=
=
．
【点评】本题考查相似三角形的判定和*质、圆周角定理、切线的判定和*质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
知识点：各地中考
题型：解答题
