如圖，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，O是AB上一點，以點O為圓心，OA的長為半徑作⊙O與BC相切於點D...

問題詳情：

如圖，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，O是AB上一點，以點O為圓心，OA的長為半徑作⊙O與BC相切於點D．

（1）求*：∠ACB＝90°

（2）若AC＝3，BC＝4，填空

①⊙O的半徑長為　   　；

②tan∠CAD＝　   　．

【回答】

（1）*：連接OD，如圖，

∵AD是∠BAC的角平分線，

∴∠OAD＝∠CAD，

∵OD＝OA，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC，

∵⊙O與BC相切於點D，

∴OD⊥BC，

∴AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°；

（2）①在Rt△ABC中，AB＝＝5，

設⊙O的半徑為r，則OA＝OD＝r，OB＝5﹣r，

∵OD∥AC，

∴△BDO∽△BCA，

∴＝，即＝，解得r＝，

即⊙O的半徑為；

②∵△BDO∽△BCA，

∴＝，即＝，解得BD＝，

∴CD＝，

在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝＝．

故*為，．

【點評】本題考查了切線的*質：圓的切線垂直於經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關係．靈活運用相似比進行幾何運算．

知識點：相似三角形

題型：綜合題