已知三稜錐(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中,四邊形為邊長等於的正方形,和均為正三角形,在三稜錐中:(I)*...
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問題詳情:
已知三稜錐(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中,四邊形為邊長等於的正方形,和均為正三角形,在三稜錐中:
(I)*:平面平面;
(Ⅱ)若點在稜上運動,當直線與平面所成的角最大時,求二面角的餘弦值.
圖一
圖二
【回答】
(1)見解析(2)
【分析】
(1)設AC的中點為O,*PO垂直AC,OB,結合平面與平面垂直判定,即可.(2)建立直角座標系,分別計算兩相交平面的法向量,結合向量的數量積公式,計算夾角,即可.
【詳解】
(Ⅰ)設的中點為,連接,.
由題意,得,
,.
因為在中,,為的中點,
所以,
因為在中,,,,
,所以.
因為,平面,所以平面,
因為平面,所以平面平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,平面,
所以是直線與平面所成的角,
且,
所以當最短時,即是的中點時,最大.
由平面,,所以,,於是以
,,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖示空間直角座標系,
則,,,,,,
,,.
設平面的法向量為,則
由得:.
令,得,,即.
設平面的法向量為,
由得:,
令,得,,即.
.
由圖可知,二面角的餘弦值為.
【點睛】
本道題考查了二面角計算以及平面與平面垂直的判定,難度較大.
知識點:空間中的向量與立體幾何
題型:解答題