已知SC是球O的直徑,A,B是該球面上的兩點,△ABC是邊長為的正三角形,若三稜錐S﹣ABC的體積為,則球O的...
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問題詳情:
已知SC是球O的直徑,A,B是該球面上的兩點,△ABC是邊長為的正三角形,若三稜錐S﹣ABC的體積為,則球O的表面積為( )
A.16π B.18π C.20π D.24π
【回答】
C【考點】球的體積和表面積.
【分析】根據題意作出圖形,欲求球O的表面積,只須求球的半徑r.利用截面圓的*質即可求出OO1,進而求出底面ABC上的高SD,即可計算出三稜錐的體積,從而建立關於r的方程,即可求出r,從而解決問題.
【解答】解:根據題意作出圖形.
設球心為O,球的半徑r.過ABC三點的小圓的圓心為O1,則OO1⊥平面ABC,
延長CO1交球於點D,則SD⊥平面ABC.
∵CO1==1,
∴OO1=,
∴高SD=2OO1=2,
∵△ABC是邊長為的正三角形,
∴S△ABC=,
∴V三稜錐S﹣ABC=××2=,
∴r=.則球O的表面積為20π
故選:C.
知識點:球面上的幾何
題型:選擇題