一個長為,寬為,質量為的矩形導電線框,由質量均勻分佈的剛*杆構成,靜止放置在不導電的水平桌面上,可繞與線框的一...
問題詳情:
一個長為,寬為,質量為的矩形導電線框,由質量均勻分佈的剛*杆構成,靜止放置在不導電的水平桌面上,可繞與線框的一條邊重合的光滑固定軸ab轉動,在此邊中串接一能輸出可變電流的電流源(圖中未畫出)。線框處在勻強磁場中,磁場的磁感應強度沿水平方向且與轉軸垂直,俯視圖如圖預19-6所示。現讓電流從零逐漸增大,當電流大於某一最小值時,線框將改變靜止狀態。
(1)求電流值。
(2)當線框改變靜止狀態後,設該電流源具有始終保持恆定電流值不變()的功能。已知在線框運動過程中存在空氣阻力。試分析線框的運動狀況。
【回答】
(1)解法一:
導體線框放在水平桌面上,俯視圖如圖預解19-6-1。由圖可見,在線框沒動之前,線框的邊與邊平行於磁場,因而不受磁場力。邊受的安培力的大小為,方向垂直於桌面向下,但此力對軸的力矩為零。邊受的安培力的大小為,方向垂直桌面向上。此力對固定軸的力矩為
①
除此力矩外,線框還受到重力矩作用。重力力矩等於重力乘線框重心(點)到軸ab的距離,即
②
當=時,桌面對線框的支持力的力矩為零,>時,線框將改變靜止狀態,開始繞軸ab向上翹起。根據題意及①、②式,由力矩平衡原理可知
③
解得
④
解法二:
線框所受的重力矩也可以由各邊對ab軸的重力矩來求。邊與邊的重心均在()處,兩條邊對ab軸的合力矩為
邊對ab軸的力矩為
故線框所受的重力矩為
與解法一求得的②式一致,從而求得與④式相同。
(2)線框處於靜止狀態時,若電流比稍大,線框所受的電磁力矩將大於重力矩,使線框繞ab軸向上翹起。邊和邊所受電磁力不等於零,但二者相互抵消。當保持電流值恆定不變時,線框將從靜止狀態開始繞固定軸作加速轉動。在加速轉動過程中,由於通過線框的磁通量發生變化,線框內將產生感應電動勢,它有使線框中的電流變小的趨勢,題中已設電流源有保持電流恆定不變的功能,所以當線框平面轉至與桌面成角時,如圖預解19-6-2a所示,線框受到的合力矩為
⑤
隨着角逐漸增大,合力矩隨之減小,但始終大於零,因而線框仍作逆時針加速轉動,角速度不斷增大。當線框平面轉到豎直面時,合力矩為零,角速度達到最大。由於慣*,線框將越過面作逆時針轉到。此時,合力矩與線框轉動方向相反,角速度將逐漸減小,合力矩的大小隨着角的增大而增大,如圖預解19-6-2b所示。
如果沒有空氣阻力,將增至180°。當角等於180° 時,線框轉動的角速度為零,合力矩將使線框作順時針加速轉動,結果線框將在角等於0°與180°之間往復擺動不止。實際上,由於空氣阻力作用,線框平面在平面兩側擺動的幅度將逐漸變小,最終靜止在面處,此時,電磁力矩與重力矩均為零。如果線框稍偏離平衡位置,電磁力矩與重力矩的合力矩將使線框回到平面處。故線框處於穩定平衡狀態。
評分標準:本題20分。第一問6分、第二問14分。
第一問中,①、②、④式各2分。
第二問中,正確地分析了線框往復轉動,給4分;説明最後平衡在豎直面處,給6分;説明穩定平衡,給4分。
知識點:專題六 電場和磁場
題型:計算題