（1）知識再現如圖（1）：若點A，B在直線l同側，A，B到l的距離分別是3和2，AB=4．現在直線l上找一點P...

問題詳情：

（1）知識再現

如圖（1）：若點A，B在直線l同側，A，B到l的距離分別是3和2，AB=4．現在直線l上找一點P，使AP+BP的值最小，做法如下：

作點A關於直線L的對稱點A′，連接BA′，與直線l的交點就是所求的點P，線段BA′的長度即為AP+BP的最小值．請你求出這個最小值．

（2）實踐應用

①如圖（2），⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，則PA+PC的最小值是　2　；

②如圖（3），Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上，頂點B的座標為（3，），點C的座標為（1，0），點P為斜邊OB上的一動點，則PA+PC的最小值為　　．

③如圖（4），菱形ABCD中AB=2，∠A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為　　．

④如圖（5），在R△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，點D是BC邊上的點，CD=，將△ABC沿直線AD翻折，使點C落在AB邊上的點E處，若點P是直線AD上的動點，則△PEB的周長的最小值是　3+　．

（3）拓展延伸

如圖（6），在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫出作法．

【回答】

【分析】（1）如圖1中，作BM⊥AA′於M，連接AB，在RT△ABM中利用勾股定理求出BM2，再在RT△BMA′中利用勾股定理即可解決問題．

（2）①如圖2中，延長AO交⊙O於H，連接CH交OB於點P，此時PA+PC最小，利用勾股定理計算即可．

②如圖3中，在y軸上取一點C′使得OC′=0C=1，連接AC′交OB於點P，此時PC+PA最小，最小值=AC′，利用勾股定理計算即可．

③如圖4中，當KP⊥BC，KQ⊥CD時，KP+KQ最小，利用BDCO=BCKP+CDKQ，即可解決問題．

④如圖5中，因為E、C關於AD對稱，所以當點P與點D重合時，△PEB周長最小，利用勾股定理計算即可．

（3）作點B關於AC的對稱點B′，連接DB′並延長交AC於點P，此時∠APB=∠DPA．

【解答】解：（1）如圖1中，作BM⊥AA′於M，連接AB．

在RT△BMA中，∵∠BMA=90°，AB=4，AM=1，

∴BM2=AB2﹣AM2=15，

在RT△BMA′中，∵∠BMA′=90°，MA′=5，

∴BA′===2．

（2）①如圖2中，延長AO交⊙O於H，連接CH交OB於點P，此時PA+PC最小，

∵OA=OH，PO⊥AH，

∴PA=PH，

∴PA+PC=PH+PC=HC，

∵AH是直徑，

∴∠ACH=90°，∵∠AOC=60°，OA=OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠HAC=60°，

在RT△ACH中，∵∠AHC=30°，AC=2，

∴AH=4，CH==2．

故*為2．

②如圖3中，在y軸上取一點C′使得OC′=0C=1，連接AC′交OB於點P，此時PC+PA最小，最小值=AC′，

在RT△AOC′中，∵∠AOC′=90°，OC′=1，AO=3，

∴AC′===．

故*為．

③如圖4中，當KP⊥BC，KQ⊥CD時，KP+KQ最小，

連接AC交BD於點O，由題意： BDCO=BCKP+CDKQ，

∴KP+KQ=，

故*為．

④如圖5中，

∵E、C關於AD對稱，

∴當點P與點D重合時，△PEB周長最小，

在RT△DEB中，∵∠DEB=90°，DE=CD=，∠DBE=60°，

∴BD=2EB，設EB=x，則BD=2x，

∴（2x）2=x2+（）2，

∴x=±1，

∵x＞0，

∴x=1，

∴EB=1，DB=2，

∴△PEB周長最小值=3+．

故*為3+．

（3）作點B關於AC的對稱點B′，連接DB′並延長交AC於點P，此時∠APB=∠DPA．

【點評】本題考查圓的綜合題、最短問題、勾股定理、面積法、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是利用軸對稱解決最值問題，靈活運用兩點之間線段最短解決問題，所以中考常考題型．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：綜合題