為了治療某種疾病，研製了*、乙兩種新*，希望知道哪種新*更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩隻...

問題詳情：

為了治療某種疾病，研製了*、乙兩種新*，希望知道哪種新*更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩隻白鼠對*效進行對比試驗．對於兩隻白鼠，隨機選一隻施以**，另一隻施以乙*．一輪的治療結果得出後，再安排下一輪試驗．當其中一種*治癒的白鼠比另一種*治癒的白鼠多4只時，就停止試驗，並認為治癒只數多的*更有效．為了方便描述問題，約定：對於每輪試驗，若施以**的白鼠治癒且施以乙*的白鼠未治癒則**得1分，乙*得分；若施以乙*的白鼠治癒且施以**的白鼠未治癒則乙*得1分，**得分；若都治癒或都未治癒則兩種*均得0分．*、乙兩種*的治癒率分別記為α和β，一輪試驗中**的得分記為X．

（1）求的分佈列；

（2）若**、乙*在試驗開始時都賦予4分，表示“**的累計得分為時，最終認為**比乙*更有效”的概率，則，，，其中，，．假設，．

(i)*：為等比數列；

(ii)求，並根據的值解釋這種試驗方案的合理*．

【回答】

（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）.

【解析】

（1）首先確定所有可能的取值，再來計算出每個取值對應的概率，從而可得分佈列；（2）（i）求解出的取值，可得，從而整理出符合等比數列定義的形式，問題得*；（ii）列出*得的等比數列的通項公式，採用累加的方式，結合和的值可求得；再次利用累加法可求出.

【詳解】

（1）由題意可知所有可能的取值為：，，

；；

則的分佈列如下：

（2），

，，

（i）

即

整理可得： 

是以為首項，為公比的等比數列

（ii）由（i）知：

，，……，

作和可得：

表示最終認為**更有效的.由計算結果可以看出，在**治癒率為0.5，乙*治癒率為0.8時，認為**更有效的概率為，此時得出錯誤結論的概率非常小，説明這種實驗方案合理.

【點睛】

本題考查離散型隨機變量分佈列的求解、利用遞推關係式*等比數列、累加法求解數列通項公式和數列中的項的問題.本題綜合*較強，要求學生能夠熟練掌握數列通項求解、概率求解的相關知識，對學生分析和解決問題能力要求較高.

知識點：概率

題型：解答題