（問題原型）如圖①，AB∥CD，點M在直線AB、CD之間，則∠M＝∠B+∠D，小明解決上述問題的過程如下：如圖...
問題詳情：
（問題原型）
如圖①，AB∥CD，點M在直線AB、CD之間，則∠M＝∠B+∠D，小明解決上述問題的過程如下：
如圖②，過點M作MN∥AB
則∠B＝_______（_______）
∵AB∥CD，（已知）
MN∥AB（輔助線的做法）
∴MN∥CD（______）
∴∠______＝∠D（______）
∴∠B+∠D＝∠BMD
請完成小明上面的過程．
（問題遷移）
如圖③，AB∥CD，點M與直線CD分別在AB的兩側，猜想∠M、∠B、∠D之間有怎樣的數量關係，並加以説明．
（推廣應用）
（1）如圖④，AB∥CD，點M在直線AB、CD之間，∠ABM的平分線與∠CDM的平分線交於點N，∠M＝96°，則∠N＝_____°；
（2）如圖⑤，AB∥CD，點M與直線CD分別在AB的兩側，∠ABM的平分線與∠CDM的平分線交於點N，∠N＝25°，則∠M＝______°；
（3）如圖⑥，AB∥CD，∠ABG的平分線與∠CDE的平分線交於點M，∠G＝78°，∠F＝64°，∠E＝64°，則∠M＝_______°．
【回答】
(問題原型)∠BMN；兩直線平行，內錯角相等；平行於同一條直線的兩直線平行；∠NMD；兩直線平行，內錯角相等；(問題遷移)∠BMD＝∠D﹣∠B；*見解析；(推廣應用)（1）∠N＝48°；（2）∠M＝50°；（3）∠M＝39°，
【解析】
(問題原型)：過點M作MN∥AB，根據平行線的*質即可得*；(問題遷移)過點M作MN∥AB，由平行線的*質可得∠1＝∠B，∠NMD＝∠D，利用角的和差即可得*；(推廣應用)：（1）利用圖②結論，結合角平分線的*質即可得*；（2）利用圖③的結論，結合角平分線的*質即可得出*；（3）如圖⑥，過G，F，E分別作GN∥AB，FH∥AB，EP∥AB，根據平行線的*質，結合角平分線的*質利用圖②的結論即可得出*.
【詳解】
(問題原型)：
如圖②，過點M作MN∥AB，
則∠B＝∠BMN（兩直線平行，內錯角相等）
∵AB∥CD，（已知）
∴MN∥AB（輔助線的做法）
∴MN∥CD（平行於同一條直線的兩直線平行）
∴∠NMD＝∠D（兩直線平行，內錯角相等）
∴∠B+∠D＝∠BMD，
故*為∠BMN，兩直線平行，內錯角相等，平行於同一條直線的兩直線平行，∠NMD，兩直線平行，內錯角相等，
（問題遷移）：
如圖③，過點M作MN∥AB，
∴∠1＝∠B，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB，
∴∠NMD＝∠D，
∵∠NMD＝∠1+∠BMD，
∴∠BMD＝∠D﹣∠B；
（推廣應用）：
（1）如圖④，由如圖②的結論可得，∠ABM+∠CDM＝∠M＝96°，∠N＝∠ABN+∠CDN，
∵BN，DN分別平分∠ABM，∠CDM，
∴∠ABN+∠CDN＝
＝
（∠ABM+∠CDM）＝48°，
∴∠N＝48°；
（2）如圖⑤，由如圖③的結論可得，∠M＝∠CDM﹣∠ABM，
∵BN，DN分別平分∠ABM，∠CDM，
∴∠CDN﹣∠ABN＝
∠CDM﹣
∠ABM＝
（∠CDM﹣∠ABM）＝
∠M＝∠N＝25°，
∴∠M＝50°；
（3）如圖⑥，過G，F，E分別作GN∥AB，FH∥AB，EP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GN∥FH∥EP∥CD，
∴∠2＝∠GFH，∠3＝∠EFH，
∴∠2+∠3＝∠GFE＝64°，
∴∠1+∠4＝∠BGF+∠DEF﹣∠GFE＝78°，
∵AB∥GN，EP∥CD，
∴∠ABG＝∠1，∠CDE＝∠4，
∴∠ABG+∠CDE＝78°，
∵BM，DM分別平分∠ABG，∠CDE，
∴∠ABM＝
∠ABG，∠CDM＝
∠CDE，
由如圖②中的結論可得∠M＝∠ABM+∠CDM＝
（∠ABG+∠CDE）＝
×78°＝39°，
故*為48，50，39．
【點睛】
本題考查平行線的*質及角平分線的*質，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；熟練掌握平行線的*質並正確作出輔助線是解題關鍵.
知識點：角
題型：解答題
