如圖,設A是由n×n個實數組成的n行n列的數表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位於第i行第j列的...

問題詳情：

如圖,設A是由n×n個實數組成的n行n列的數表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位於第i行第j列的實數,且aij∈{1,-1}.記S(n,n)為所有這樣的數表構成的*.對於A∈S(n,n),記ri(A)為A的第i行各數之積,cj(A)為A的第j列各數之積.令l(A)=ri(A)+cj(A).

(1)對如下數表A∈S(4,4),求l(A)的值;

(2)*存在A∈S(n,n),使得l(A)=2n-4k,其中k=0,1,2,…,n;

(3)給定n為奇數,對於所有的A∈S(n,n),*l(A)≠0.

【回答】

 (1)解:r1(A)=r3(A)=r4(A)=1,r2(A)=-1;c1(A)=c2(A)=c4(A)=-1,c3(A)=1,

所以l(A)=ri(A)+cj(A)=0.

(2) *:數表A0中aij=1(i,j=1,2,3,…,n),顯然l(A0)=2n.

將數表A0中的a11由1變為-1,得到數表A1,顯然l(A1)=2n-4.

將數表A1中的a22由1變為-1,得到數表A2,顯然l(A2)=2n-8.

依此類推,將數表Ak-1中的akk由1變為-1,得到數表Ak.

即數表Ak滿足:a11=a22=…=akk=-1(1≤k≤n),其餘aij=1.

所以r1(A)=r2(A)=…=rk(A)=-1,c1(A)=c2(A)=…=ck(A)=-1.

所以l(Ak)=2[(-1)×k+(n-k)]=2n-4k,其中k=0,1,2,…,n;

【注:數表Ak不唯一】

(3) *: (反*法)

假設存在A∈S(n,n),其中n為奇數,使得l(A)=0.

因為ri(A)∈{1,-1},cj(A)∈{1,-1}(1≤i≤n,1≤j≤n),

所以r1(A),r2(A),…,rn(A),c1(A),c2(A),…,cn(A)這2n個數中有n個1,n個-1.

令M=r1(A)·r2(A)·…·rn(A)·c1(A)·c2(A)·…·cn(A).

一方面,由於這2n個數中有n個1,n個-1,從而M=(-1)n=-1.①

另一方面,r1(A)·r2(A)·…·rn(A)表示數表中所有元素之積(記這n2個實數之積為m);c1(A)·c2(A)·…·cn(A)也表示m,從而M=m2=1.  ②

①②相互矛盾,從而不存在A∈S(n,n),使得l(A)=0.

即當n為奇數時,必有l(A)≠0.

知識點：推理與*

題型：解答題