某工藝品廠要設計一個如圖1所示的工藝品,現有某種型號的長方形材料如圖2所示,其周長為4m,這種材料沿其對角線折...
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問題詳情:
某工藝品廠要設計一個如圖1所示的工藝品,現有某種型號的長方形材料如圖2所示,其周長為4m,這種材料沿其對角線摺疊後就出現圖1的情況.如圖,ABCD(AB>AD)為長方形的材料,沿AC摺疊後AB'交DC於點P,設△ADP的面積為S2 , 摺疊後重合部分△ACP的面積為S1 . (Ⅰ)設AB=xm,用x表示圖中DP的長度,並寫出x的取值範圍; (Ⅱ)求面積S2最大時,應怎樣設計材料的長和寬? (Ⅲ)求面積(S1+2S2)最大時,應怎樣設計材料的長和寬?
【回答】
解:(Ⅰ)由題意,AB=x,BC=2﹣x,∵x>2﹣x,∴1<x<2
設DP=y,則PC=x﹣y,由△ADP≌△CB'P,故PA=PC=x﹣y,
由PA2=AD2+DP2,得(x﹣y)2=(2﹣x)2+y2
即: .
(Ⅱ)記△ADP的面積為S2,則 .
若且唯若 時,S2取得最大值.
故當材料長為 ,寬為 時,S2最大.
(Ⅲ)
於是令 ,∴
∴關於x的函數 在 上遞增,在 上遞減,
∴當 時,S1+2S2取得最大值.
故當材料長為 ,寬為 時,S1+2S2最大
知識點:函數的應用
題型:綜合題