在一個大湖的岸邊(可視湖岸為直線)A處停放着一隻小船,纜繩突然斷開,小船被風颳跑,以的速度勻速向湖中行駛,其方...
問題詳情:
在一個大湖的岸邊(可視湖岸為直線)A處停放着一隻小船,纜繩突然斷開,小船被風颳跑,以的速度勻速向湖中行駛,其方向與湖岸成角。另有一人在纜繩斷開時從A點出發,他先沿湖岸走一段後再入水游泳去追船。已知人在岸上走的速度,在水中游泳的速度為。問:此人能否追上小船?若能,小船被人追上的最大速度為多少?
【回答】
可見小船被人追上時的最大速度為,故人能追上小船。
【解析】
解析1:由於人在水中的遊速小於小船在水中的速度,因此,人只有先沿岸跑一段路程後再入水游泳追船,這樣才有可能追上小船。設法求出小船被人追上的最大速度,即可知人能否追上小船。
設船速為v,人追上小船的時間為t,設人在岸上跑的時間是整個追趕時間的k倍,人要追上船,則船運動的路線與人運動的兩段路線構成一個三角形,如圖*所示,由余弦定理得
,
整理得。
要使上列方程在範圍內有解,則需,故有
,
所以,
*整理得,
兩邊開方,解得。
可見小船被人追上時的最大速度為,故人能追上小船。
解析2:用作圖法可以求出在追上小船的時間t內,人在岸上跑和在水中游所能達到的區域。若在此時間內,船沒有跑出該區域,就*船能被人追上,由船與該區域邊界的交點,可以求出船能被人追上的最大速度。
如圖乙所示,設人從A點起在時間t內沿湖岸跑過路程達到B點,。若人從A點起,在水中游時間t,則可以到達的區域是以A為圓心,為半徑的半圓,若人先在岸上跑時間到C點,然後再在水中游時間,則,在時間內人可以到達以C為圓心、為半徑的半圓區域。同理,選取不同的,可以得到不同的入水點C,以C為圓心、為半徑可以作出無數個半圓。由數學的包絡線可知,這些半圓之公切線為BE和OD。因此,在追趕時間t內,人所能達到的區域邊界為湖岸AB和切線OD、BE以及圓弧DE。由於船的速度向量與邊界BE相交於點M,則當時,船能被人追上,可見,要在M點追上船,必須在岸邊選擇一個合適的入水點。
因為,
為直角三角形,所以
,
解得。
又因為,
所以,而,
所以,
故為等腰直角三角形。
由得,
則。
可見小船被人追上時的最大速度為,故人能追上小船。
知識點:物理競賽
題型:解答題