已知多面體ABCDEF中,AB∥CD∥EF,平面ABCD⊥平面ADE,△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形,...
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問題詳情:
已知多面體ABCDEF中,AB∥CD∥EF,平面ABCD⊥平面ADE,△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形,點G為邊BC的中點,且AD=AB=2,CD=4,EF=3.
(1)求*:FG⊥平面ABCD;
(2)若∠ADC=120°,求二面角F-BD-C的大小.
【回答】
解:(1)取線段AD的中點H,在等腰直角三角形ADE中有EH⊥AD.
又平面ADE⊥平面ABCD,∴EH⊥平面ABCD,
連接GH,由於AB∥CD∥EF,且AB=2,CD=4,
∴在梯形ABCD中,HG∥AB且HG=3,∴HG∥EF.
又HG=EF,∴四邊形EFGH為平行四邊形,∴FG∥EH且FG=EH,∴FG⊥平面ABCD.
(2)建立如圖所示的空間直角座標系,A(1,0,0),D(-1,0,0),E(0,0,1),B(0,,0),
∵HG=3,∠DHG=60°,
∴G(-,,0),
∴F(-,,1).
由圖可知平面BDC的一個法向量n1=(0,0,1).
設平面BDF的法向量n2=(x,y,z),則,
∴,
即,
令y=-1,則x=,z=2,
∴平面BDF的一個法向量為n2=(,-1,2),
設二面角F-BD-C的大小為θ,
則cosθ===.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題