.已知点M是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且|F1F2|=4...
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问题详情:
.已知点M是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且|F1F2|=4,∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交椭圆C异于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,*:k1+k2为定值.
【回答】
解:(1)在△F1MF2中,由|MF1||MF2|sin 60°=,得|MF1||MF2|=.
由余弦定理,得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|·|MF2|cos 60°=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|·(1+cos 60°),
解得|MF1|+|MF2|=4.
从而2a=|MF1|+|MF2|=4,即a=2.
由|F1F2|=4得c=2,从而b=2,
故椭圆C的方程为+=1.
(2)*:当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则其方程为y+2=k(x+1),
4.
当直线l的斜率不存在时,可得A(-1,),
B(-1,-),得k1+k2=4.
综上,k1+k2为定值.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题